Через центр правильного треугольника АВС к его плоскости проведен перпендикуляр ОН. Найти косинус угла между плоскостями

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2zBj6pl).

Так как, по условию ВН = АВ, а треугольник правильный, то НАВС – правильная пирамида, у которой все грани и основание есть равносторонние треугольники. Пусть ребро треугольника равно Х см.

Определим высоту равностороннего треугольника. НД = СД = Х * √3 / 2.

В равностороннем треугольнике, точка пересечения высот делит из в отношении 2 / 1, начиная с вершины, тогда ОС = 2 * ОД.

СД = ОС + ОД = 2 * ОД + ОД = 3 * ОД.

Х * √3 / 2 = 3 * ОД.

ОД = (Х * √3 / 2) / 3 = Х * √3 / 6.

Из прямоугольного треугольника НОД определим косинус угла НДО.

CosНДО = ОД / НД = (Х * √3 / 6) / (Х * √3 / 2) = 1 / 3.

Ответ: Косинус угла между плоскостями равен 1/3.