В прямоугольный треугольник вписана окружность,длина радиуса которой равна 1 см,а точка касания делит гипотенузу в отношении

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2LUmSkE).

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки АК = АЕ, КВ = ВМ, СМ = СЕ.

СМ и СЕ равны радиусу вписанной окружности СМ = СЕ = 1 см.

По условию, ВК /АК = 2/3. Обозначим коэффициент отношения частей гипотенузы Х, тогда ВК = 2 * Х, АК = 3 * Х, а гипотенуза АВ = 5 * Х.

Тогда катет ВС = ВМ + СМ = ВК + 1 = 2 * Х + 1.

Катет АС = АЕ + СЕ = 3 * Х + 1.

По теореме Пифагора (5 * Х)² = (2 * Х + 1)² + (3 * Х + 1)².

25 * Х² = 4 * Х² + 4 * Х + 1 + 9 * Х² + 6 * Х + 1.

12 * Х² – 10 * Х – 2 = 0.

6 * Х² – 5 * Х – 1 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = b² – 4 * a * c = (-5)² – 4* 6 * (-1) = 25 + 24 = 49.

X₁ = (5 - √49) / (2 * 6) = (5 – 7) / 12 = -2/12 = -1/6. ( Не подходит, так как не может быть Х < 0).

X₂ = (5 + √49) / (2 * 6) = (5 + 7) / 12 = 12/12 = 1.

Х = 1, тогда:

ВС = 2 * 1 + 1 = 3 см.

АС = 3 * 1 + 1 = 4 см.

АВ = 5 * 1 = 5 см.

Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.

R = AB / 2 = 5/2 = 2,5 см.

Ответ: R = 2,5 см, АС = 4 см, ВС = 3 см.