В ромбе ABCD тупой угол равен 120 градусов. Через вершину С проведена прямая, параллельная диагонали BD, которая пересекает

1).

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2E5Nzys).

Так как в условии не указано какой угол тупой, пусть угол В = 120⁰.

Углы АВС и КВС смежные тогда угол КВС = 180 – АВС = 60⁰.

Сумма соседних углов ромба равна 180⁰, тогда угол ВСД = 180 – 120 = 60⁰, тогда угол ВСО = 60 / 2 = 30⁰. Угол ОСК = 90⁰, тогда угол ВСК = 90 – 30 = 60⁰, следовательно, треугольник ВСК равносторонний.

АС есть высота, биссектриса и медиана треугольника АКМ, тогда СК = СМ = КМ / 2 = 12 / 2 = 6 см.

Тогда ВС = АВ = СД = АД = 6 см.

Ответ: Сторона ромба равна 6 см.

Сумма соседних углов ромба равна 180⁰, тогда АВС + ВАД = 180⁰. ВАД = 180 – АВС = 180 – 108 = 72⁰.

Диагонали ромба делят углы при вершинах ромба пополам, тогда угол АВО = АВС / 2 = 108 / 2 = 54⁰, угол ВАО = ВАД / 2 = 72 / 2 = 36⁰.

Сумма внутренних углов треугольника равна 180⁰, тогда угол АОВ = 180 – ВАО – АВО = 180 – 36 – 54 = 90⁰.

Ответ: Углы треугольника АВО равны 36⁰, 54⁰, 90⁰.

2).

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2AVq200).

Во втором случае пусть угол А будет тупым, тогда угол АДС = 180 – 120 = 60⁰, а в треугольнике СДК угол СДК = 180 – 60 = 120⁰.

Угол ВСД = 120⁰, тогда угол АСД = 120 /  2 = 60⁰, а угол ДСК = 90 – 60 = 30⁰.

В треугольнике СДК углы при основании СК равны 30⁰, тогда треугольник равнобедренный КД = СД.

Точка С делит отрезок КМ пополам, тогда КС = 12 / 2 = 6 см.

Проведем высоту ДН треугольника СДК, которая будет и медианой треугольника, тогда КН = СН = КС / 2 = 6 / 2 = 3 см.

В треугольнике СДН определим длину гипотенузы СД.

СД = СН / CosДСН = 3 / (√3 / 2) = 6 / √3 = 2 * √3 см.

Ответ: Длина стороны ромба равна 2 * √3 см.