В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 5см, 5см и 8см. Все боковые грани наклонены к ее основанию под углом

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2QJlJ1o).

В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник. Определим его площадь.

Отрезок ВН есть высота, медиана и биссектриса треугольника АВС, тогда АН = СН = АС / 2 = 8 / 2 = 4 см.

Прямоугольный треугольник АВН есть Египетский треугольник, тогда ВН = 3 см.

Определим площадь треугольника АВС.

Sавс = АС * ВН / 2 = 8 * 3 / 2 = 12 см².

Так как все боковые грани пирамиды наклонены под одинаковым углом 450, то вершина пирамиды, точка Д проецируется в центр вписанной в треугольник АВС окружности.

Определим ее радиус.

R = S / p, где р – полупериметр треугольника. р = (5 + 5 + 8) / 2 = 9 см.

R = 12 / 9 = 4/3 cм.

Треугольник ДОН прямоугольный и равнобедренный, так как угол ДНО = 45⁰.

Тогда ДО = h = 4/3 см.

Определим высоту ДН боковой грани по теореме Пифагора.

ДН² = 2 * ДО² = 32/9.

ДН = 4 * √2 / 3 см.

Высоты боковых граней пирамиды равны, так как угол наклона граней одинаков.

Тогда Sбок = Р * ДН / 2 = 18 * (4 * √2 / 3) / 2 = 12 * √2 см².

Sпол = Sabc + Sбок = 12 + 12 * √2 = 12 * (1 + √2) см².

Ответ: Площадь полной поверхности равна 12 * (1 + √2) см².