В кубе abcda1b1c1d1 на ребре dd1 выбрана точка e так, что de:ed1=1:3. Вычислите косинус угла между прямыми ae и ce.

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2pBTsi3).

Пусть длина стороны куба равна Х см.

Определим длину диагонали АС по теореме Пифагора.

АС² = АД² + Д² = Х² + Х² = 2 * Х².

По условию, DE / ED1 = 1 / 3.

EД1 = 3 * ДE.

ДД1 = ДЕ + ЕД1 = ДЕ + 3 * ДЕ = 4 * ДЕ.

Х = 4 * ДЕ.

ДЕ = Х / 4.

Из прямоугольного треугольника АДЕ, по теореме Пифагора, определим длину гипотенузы АЕ.

АЕ² = АД² + ДЕ² = Х² + Х² / 16 = 17 * Х² / 16.

CT² = AE² = 17 * Х² / 16.

Из треугольника АЕС, по теореме косинусов определим косинус угла Е.

АС² = АЕ² + СЕ² – 2 * АЕ * СЕ * CosE.

2 * X² = (17 * Х² / 16) + (17 * Х² / 16) – (17 * Х² / 16) * CosE.

2 * X² = (17 * Х² / 16) * (2 – CosE).

2 * 16 = 17 * (2 – CosE).

17 * CosE = 34 – 32 = 2.

CosE = 2/17.

Ответ: Косинус угла равен 2/17.