В окружность радиуса 3 вписана трапеция ABCD. Найдите высоту трапеции, если угол ABD равен 60 градусов, а косинус угла

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2RKejb3).

Проведем диагонали АС и ВД трапеции, а так же радиусы ОА, ОВ, ОС и ОД.

Вписанный угол АВД опирается на большее основание АД трапеции и равен 60⁰, тогда центральный угол АОД = 2 * 60 = 120⁰.

Через точку О проведем высоту ЕН трапеции. В прямоугольном треугольнике АОН угол АОН = АОД / 2 = 120 / 2 = 60⁰, тогда угол ОАН = (90 – 60) = 30⁰. Катет ОН лежит против угла 30⁰, тогда ОН = АО / 2 = 3 / 2 = 1,5 см.

Центральный угол ВОС опирается на меньшее основание ВС трапеции как и вписанный угол ВАС, тогда угол ВОС = 2 * ВАС. Отрезок ОЕ есть высота, медиана и биссектриса треугольника ВОС, тогда угол ВОЕ = ВОС / 2 = ВАС.

В прямоугольном треугольнике ВОЕ CosВОЕ = ОЕ / ОВ.

ОЕ = ОВ * CosВОЕ = 0,7 * 3 = 2,1 см.

Тогда ЕН = ОЕ * ОН = 2,1 + 1,5 = 3,6 см.

Ответ: Высота трапеции равна 3,6 см.