В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания BC и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60 градусов,

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2QizYrk).

Пусть меньшее основание трапеции равно Х см, тогда, по условию, большее основание будет равно 12 * Х.

Из вершин В и С трапеции опустим две высоты к основанию АД.

Рассмотрим прямоугольный треугольник СНД, у которого, по условию, угол СДН = 60⁰, тогда угол ДСН = 180 – 90 – 60 = 30⁰. Катет ДН лежит против угла 300 и соответственно равен половине СД.

ДН = СД / 2 = Х / 2.

Определим длину отрезка АК.

АК = АД – КН – ДН = 2 * Х – Х – Х / 2 = Х / 2.

Так как АК = ДН, то трапеция АВСД равнобедренная, так как только у равнобедренной трапеции высоты отсекают у основания равные отрезки.

Тогда АВ = ВС = СД = 6 см, а основание АД = 2 * 6 = 12 см.

АК = АВ / 2 = 6 / 2 = 3 см.

Определим о теореме Пифагора высоту ВК.

ВК2 = АВ2 – АК2 = 36 – 9 = 27.

ВК = √27 = 3 * √3 см.

Определим площадь трапеции.

S = (АД + ВС)  * ВК / 2 = (12 + 6) * 3 * √3  / 2 = 27 * √3   см².

Ответ: Площадь трапеции равна 27 * √3   см².