B прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делят гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см. Hайти

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2TFK9qz).

Из центра О окружности проведем отрезки к точкам касания ее со сторонами треугольника.

По свойству касательной, проведенной из одной точки, отрезок СК = СМ, ВМ = ВН = 12 см, АК = АН = 5 см.

Длина гипотенузы АВ = АН + ВН = 5 + 12 = 17 см.

Пусть СК = СМ = Х см

Тогда АС = 5 + Х, ВС = 12 + Х.

По теореме Пифагора АВ² = АС² + ВС².

172 = (5 + Х)² + (12 + Х)².

289 = 25 + 10 * Х + Х² + 144 + 24 * Х + Х².

2 * Х² + 34 * Х – 120 = 0.

Х² + 17 * Х – 60 = 0.

Решим квадратное уравнение.

Х = СК = 3 см.

Тогда АС = 5 + 3 = 8 см.

Ответ: Длина меньшего катета равна 8 см.