В трапеции ABCD (BC||AD) точка M делит диагональ AC в отношении 1:2,считая от вершины A.Найти отношение площади треугольника

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2NI0tVo).

Проведем через точку М высоту трапеции КН.

Треугольники КМС и АМН подобны по двум углам, углы КМС т АМН вертикальные, а МАН и КСМ накрест лежащие. Тогда АМ / СМ = НН / КМ = 1 / 2.

КМ = 2 * МН.

Тогда КН = МН + КМ = 3 * МН.

Площадь треугольника АМД будет равна:

Sамд = (АД * МН) / 2.

Площадь трапеции равна:

Sавсд = (ВС + АД) * КН / 2 = (ВС + АД) * 3 * МН / 2.

Тогда:

((АД * МН) / 2) / (ВС + АД) * 3 * МН / 2 =

АД / (ВС + АД) * 3 =

1 / 3 * (АД / (ВС + АД).

 Sамд / Sавсд = (1 / 3) * (АД / (ВС + АД).

Отношение площадей равно третьей части отношения большего основания к сумме оснований трапеции.

Ответ: Sамд / Sавсд = (1 / 3) * (АД / (ВС + АД).