Высоты боковых граней пирамиды, проведенных из вершины, равны по 5, стороны основания равны 13,14,15. Найдите объём пирамиды

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2Od5VUx).

Зная длины сторон треугольника в основании пирамиды, определим по теореме Герона площадь основания.

Sавс = √р * (р – АВ) * (р – ВС) * (р – АС), где р – полупериметр треугольника.

р = (АВ + ВС + АС) / 2 = (13 + 14 +15) / 2 = 21 см.

Sавс = √21 * (21 – 13) * (21 – 14) * (21 – 15) = √21 * 8 * 7 * 6 = √7056 = 84 см².

Определим радиус вписанной окружности в треугольник АВС.

ОМ = ОК = R = Sавс / р = 84 / 21 = 4 см.

Из прямоугольного треугольника ДОК, по теореме Пифагора определим катет ДО.

ДО² = ДК² – ОК² = 5² – 4² = 25 – 16 = 9.

ДО = 3 см.

Определим объем пирамиды.

V = Sавс * ДО / 3 = 84 * 3 / 3 = 84 см³.

Ответ: Объем пирамиды равен 84 см³.