Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна l и образует с плоскостью основания пирамиды угол а.Найдите объём пирамиды

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2EAsxI1).

Построим отрезок ОН. Треугольник КОН прямоугольный. Тогда ОН = КН * Sinα = L * Sinα.

КО = КН * Cosα = L * Cosα.

Апофема КН есть высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника КСД, тогда ДН = СН. В треугольнике АСД, АО = СО, тогда ОН есть средняя линия треугольника АСД, а следовательно, АД = 2 * ОН = 2 * L * Sinα.

Площадь основания есть площадь квадрата АВСД. Sосн = АД² = 4 * L² * Sin²α см².

Определим объем пирамиды. V = Sосн * КО / 3 = 4 * L² * Sin²α * L * Cosα / 3 = (4/3) * L³ * Sin²α * Cosα = (2/3) * L³ * Sin2α * Cosα см³.

Ответ: Объем пирамиды равен (2/3) * L³ * Sin2α * Cosα см³.