В ромбе ABCD градусная мера угла С в два раза меньше градусной меры угла В. Точки М и О- середины сторон AD и DC соответственно.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2EeMMvP).

Определим углы ромба. По условию угол ДАВ = 2 * АДС. Тогда ДАВ + АДС = 2 * АДС + АДС = 180⁰.

АДС = 180 / 3 = 60⁰. Тогда треугольник АДС равносторонний. АД = СД = АС.

Пусть длина ромба равна Х см, АД = АС = Х см.

Отрезок ОМ есть средняя линия треугольника АДС, так как точки М и О середины сторон ромба.

Тогда ОМ = АС / 2 = Х / 2.

В равностороннем треугольнике АДС определим высоту ДК.

ДК² = АД² – АК² = Х² – (Х / 2)² = Х² – Х² / 4 = 3 * Х² / 4.

ДК = Х * √3 / 2 см.

Средняя линия ОМ делит высоту ДК пополам, РК = ДК / 2 = (√3 * Х / 2) / 2 = √3 * Х / 4.

Определим длину высоты ВР треугольника МВО. ВР = ВК + РК = (√3 * Х / 2 + (√3 * Х / 4)) = 3 * √3 * Х / 4.

Тогда Sвмо = ВР * МО / 2 = (Х / 2) * (3 * √3 * Х / 4) / 2.

3 * √3 = Х² * 3 * √3 / 16.

Х2 = 16.

Х = АВ = ВС = СД = АД = 4 см.

Определим площадь ромба.

Sавсд = АВ * АД * SinА = 4 * 4 * √3 / 2 = 8 * √3 см².

Ответ: Площадь ромба равна 8 * √3 см².