1. 1. В трапеции АВСD (АD и ВС основания) диагонали пересекаются в точке О, AD=12см, ВС=4см.Найдите площадь треугольника

1)

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2werAk9).

Треугольники АОД и ВОС подобны, так как диагонали трапеции отсекают два подобных треугольника у оснований трапеции. Коэффициент подобия треугольников равен:

К = АД / ВС = 12 / 4 = 3.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Sаод / Sвос = К².

45 / Sвос = 3².

Sвос = 45 / 9 = 5 см².

Ответ: Sвос = 5 см².

2)

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2MuJppf).

Пусть длины средних линий треугольника раны:

КМ = 2 * Х.

КН = 2 * Х.

МН = 4 * Х.

Так как средние линии треугольника равны половине длины противоположного основания, то:

АС = 4 * Х.

ВС = 4 * Х.

АВ = 8 * Х.

Периметр равен сумме сторон треугольника.

Р = 4 * Х + 4 * Х + 8 * Х = 45.

16 * Х = 45.

Х = 45 / 16 = 2,8125.

Тогда АС = ВС = 2,8125 * 4 = 11,25 см.

АВ = 2,8125 * 8 = 22,5 см.

Ответ: Стороны треугольника равны:11,25 см, 11,25 см, 22,5 см.

3)

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2BM3JgJ).

По свойству медиан треугольника, они в точке пересечения делятся в отношении 2/1, начиная с вершины треугольника, тогда ВМ / ВО = 3 / 2.

Треугольники АВС и ЕВF подобны, так как АС параллельна ЕF, а углы ВАС и ВFE, АСВ и ВFЕ равны, как соответственные углы при пересечении параллельных АС и FЕ секущими АВ и СВ.

Тогда АС / ЕF = 3 / 2.

ЕF = АС * 2 / 3 = 15 * 2 / 3 = 10 см.

Ответ: EF = 10 см.

4)

Так как, по условию, АС = ВС = 5 см, то треугольник прямоугольный и равнобедренный, тогда угол А = В = (180 – 90) / 2 = 45⁰.

По теореме Пифагора гипотенуза АС будет равна:

АС2 = АВ2 + ВС2 = 25 + 25 = 50.

АС = 5 * √2 см.

Ответ: Угол В = 45⁰, АС = 5 * √2 см.

5)

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2P8hJDA).

Рассмотрим прямоугольный треугольник СВН, у которого угол Н прямой, так как ВН – высота, тогда:

Sin β = СН / ВС = СН / 7.

СН = 7 * Sin β.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСН.

tg α = АН / СН = АН / 7 * Sin β.

АН = 7 * Sin β * tg α.

Ответ: АН = 7 * Sin β * tg α.

6)

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2BJLUPi).

Так как точка В середина АВ, а ВС параллельна АД то ВС средняя линия треугольника АКД и равна половине основания АД.

ВС = АД / 2 = 12 / 2 = 6 см.

Тогда АД + ВС = 12 + 6 = 18 см.

Ответ: Сумма оснований трапеции равна 18 см.