В равнобедренном прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе , на 2 см меньше катета. Найдите гипотенузу.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2t6D2wj).

Пусть длина катета АС = Х см, тогда и ВС = Х см.

Определим длину гипотенузы АВ.

АВ² = АС² + ВС² = Х² + Х² = 2 * Х².

АВ = Х * √2 см.

Медиана СН проведенная к гипотенузе АВ есть так же высота треугольника АВС, тогда треугольники АСН и ВСН прямоугольные, а АН = ВН = АН / 2 = Х * √2 / 2 см.

В прямоугольном треугольнике АСН, АС² = АН² + СН².

Х² = (Х * √2 / 2)² + (Х – 2)².

Х² = Х² / 2 + Х² – 4 * Х + 4.

Х² / 2 – 4 * Х + 4 = 0.

Х² – 8 * Х + 8 = 0. 

Решив квадратное уравнение получим:                                

Х = АС = 4 + √2 см.

Тогда АВ = (4 + √2) * √2 = 2 + 4 * √2 см.

Ответ: Длина гипотенузы АВ равна (2 + 4 * √2) см.