Гипотенуза прямоугольного треугольника равна C. Найдите сумму квадратов его медиан.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2wjP6vc).

По свойству медианы прямоугольного треугольника ВВ1 = АС / 2.

ВВ1² = АС² / 4.

Из треугольника СС1В, по теореме Пифагора определим медиану СС1.

СС1² = ВС² + (АВ / 2)².

Из треугольника АА1В, по теореме Пифагора определим медиану АА1.

АА1² = АВ² + (ВС / 2)².

Тогда сумма квадратов медиан равна:

АА1² + ВВ1² + СС1² = АВ² + ВС² / 4 + АС² / 4 + ВС² + АВ² / 4 = АС² + (1 / 4) * (АВ² + ВС²) + АС² / 4 =

АС² + АС² / 4 + АС² / 4 = 3 * АС² / 2 = 1,5 * АС².

Ответ: Сумма квадратов медиан равна 1,5 * АС².