В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD (S-вершина) M-середина SA, K-середина SC. Найти угол между плоскостями BMK

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2XL89LV).

Соединим точки К, М и В. Так как К и М середина боковых ребер SC и SA, То треугольники СВК и АВМ равны, а тогда треугольник ВКМ равнобедренный.

Проведем высоту ВН треугольника ВКМ, которая так же есть его медиана. Так как КМ есть средняя линия треугольника АСS то точка Н делит высоту SO пополам.

ОН = SO / 2.

Определим дину диагонали АС.

АС² = 2 * АВ² = 2 * 36.

АС = 6 * √2 см.

Тогда АО = АС / 2 = 3 * √2 см.

В прямоугольном треугольнике АОS, по теореме Пифагора, определим длину катета SO.

SO2 = SA2 – АО2 = 64 – 18 = 46.

SO = √46.

Тогда НО = SO / 2 = √46 / 2 см.

В прямоугольном треугольнике ОВН, ОВ = ОА = 3 / √2.

Тогда tgОВН = ОН / ОВ = (√46 / 2) / (3 / √2) = √46 * √2 / 6 = √92 / 6 = 2 * √23 / 6 = √23 / 3.

Угол ОВН = arctg(√23 / 3).

Ответ: между плоскостями BMK и ABC равен arctg(√23 / 3).