В прямоугольном параллелепипеде AB = 1, AD = 2, AA1 = 1. Найти расстояние от точки D до прямой A1B

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/36rpWeJ).

Так как, по условию, АА1 = АВ = 1 см, то две боковые грани прямого параллелепипеда квадраты, тогда грань АА1Д1 равна грани АВСД, а значит и его диагонали ДА1 и ДВ равны.

Тогда треугольник ВДА1 равнобедренный.

По теореме Пифагора определим длину ДВ.

ДВ² = ВС² + СД² = 4 + 1 = 5.

ДВ = √5 см. Тогда и А1Д = √5 см

А1В² = АВ² + АА1² = 1 + 1 = 2.

А1В = √2 см.

Искомое расстояние ДН есть высота и медиана равнобедренного треугольника ВДА1, тогда ВН = А1Н = А1Н = А1В / 2 = √2 / 2 см.

Тогда ДН2 = ДВ² – ВН² = 5 – 2 / 4 = 9/2.

ДН = 3 / √2 = 3 * √2 / 2 см.

Ответ: От точки Д до прямой А1В 3 * √2 / 2.