В треугольник АВС вписана окружность радиуса r , касающаяся сторон АВ и ВС в точках соответственно К и М , а стороны

Для решении рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2PLeOCv).

Построим радиусы окружности к точкам касания.

Так как АТ = r, по условию, то ОК = ОТ = r.

ОТ перпендикуляр к АС, ОК перпендикуляр к АВ, тогда АТОК квадрат, а треугольник АВС прямоугольный.

По свойству касательной, проведенной из одной точки, СТ = СМ = 10 см, АТ = АК = 2 см, ВК = ВМ = Х см.

Тогда АС = 2 + 10 = 12 см, АВ = 2 + Х см.

Sавс = АС * АВ / 2 = 12 * (2 + Х) / 2 = 12 + 6 * Х.

Так же площадь треугольника АВС равна:

Sавс = r * p = 2 * (12 + 10 + X + 2 + X) / 2 = 24 + 2 * X.

12 + 6 * X = 24 + 2 * X.

4 * X = 12.

X = 3 см.

Тогда ВС = 10 + 3 = 13 см.

SinB = AC / BC = 12/13.

Тогда Sквм = ВК * ВМ * SinB / 2 = 3 * 3 * (12/13) / 2 = 54/13 = 4(2/13) см².

Ответ: Площадь треугольника КВМ равна 4(2/13) см².