В правильной четырехугольной пирамиде MABCD, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AK и плоскостью MDC,

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2uMY3wx).

Так как длины всех ребер равны 1 см, то боковые грани пирамиды есть равносторонние треугольники. Точка К по условию, середина ребра МД, тогда  АК есть медиана и высота треугольник АДМ. Отрезок СК так же высота и медиана треугольника СДМ, тогда углы АКД и СКД прямые, а угол АКС наш искомый угол.

Высоту АК равностороннего треугольника АДК определим по формуле: АК = ДМ * √3 / 2 = √3 / 2 см.

СК = АК = √3 / 2 см.

В основании пирамиды квадрат АВСД, тогда АС² = АД² + СД² = 2.

АС = √2 см.

В треугольнике АСК применим теорему косинусов.

АС² = АК² + СК² – 2 * АК * СК * CosAKC.

2 = (3/4) + (3/4) – 2 * (√3/2) * (√3/2) * CosAKC.

6/4 – 2 = (3/2) * CosAKC.

-1/2 = 3/2 * CosAKC.

CosAKC = -1/3.

Угол АКС = arcos(-1/3).

Ответ: Угол между прямой AK и плоскостью МДС равен arcos(-1/3).