Боковые стороны и меньшее основание трапеции имеют одинаковые длины - по 50 см. Найдите размер ее большего основания,

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2PXq4fp).

Построим высоту ВН трапеции АВСД.

Пусть угол ВАД = α0, а сторона  АВ = ВС = СД = а см.

В прямоугольном треугольнике АВН, ВН = АВ * Sinα = a * Sinα.

AH = AB * Cosα = a * Cosα.

Тогда АД = 2 * Cosα + а.

Площадь трапеции будет равна: Sавсд = (ВС + АД) * ВН / 2 = (а +  2 * Cosα + а) * a * Sinα / 2 =

2 * a * (1 + Cosα) * Sinα / 2 = а² * (1 + Cosα) * Sinα = a2 * (Sinα + Sinα * Cosα) = a2 * (Sinα + Sin(2 * α) / 2).

Возьмем производную по углу α и приравняем ее нулю.

Cosα + Cos(2 * α) = 0.

Cosα + 2 * Cos²α – 1 = 0.

Введем новую переменную, пусть Cosα = Х.

Тогда 2 * Х² + Х - 1 = 0.

Решим квадратное уравнение.

Х₁ = -1. (Не подходит, так как угол α острый).

Х₂ = 1/2.

Cosα = 1/2.

Угол α = arcos(1/2) = 60⁰.

Тогда АН = 50 * 1/2 = 25 см.

АД = 25 + 50 + 25 = 100 см.

Ответ: При АД равном 100 см площадь трапеции наибольшая.