В сектор , центральный угол которого 120 градусов, вписан квадрат со стороной а. Найти радиус сектора

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2tdcY5H).

Треугольник АОД равнобедренный, тогда угол ДАО = АДО = (180 – АОД) / 2 = (180 – 120) / 2 = 30⁰.

Тогда угол ВАО = ВАД + ДАО = 90 + 30 = 120⁰.

В равнобедренном треугольнике АОД, ОН высота, медиана и биссектриса, тогда АН = ДН = а / 2 см. ОА = (а / 2) / √3 / 2 = a / √3 см.

В треугольнике АВО сторона АВ = а см, ОА = а / √3, ОВ = R.

Тогда, по теореме косинусов: R² = AB² + AO² – 2 * AB * AO * Cos120 =

а² + (a² / 3) – 2 * a * (a / √3) * (-1/2) = a² + a² / 3 + (a² / √3) = a² * (1 + (1 / 3) + (1 / √3)) = a² * ((3 * √3 + √3 + 3) / 3 * √3) = a² * (3 + 1 + √3) / 3 = a² * (4 + √3) / 3.

R = a * √(4 + √3) / √3.

Ответ: Радиус сектора равен a * √(4 + √3) / √3.