Высота конуса равна 10см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу

https://bit.ly/2OqOfAm

1. Найдем радиус основания.

Рассмотрим треугольник ΔАВО, образованный радиусом, высотой и секущей плоскостью АВС. Данный  треугольник есть прямоугольным.

Так как известно один из его катетов и величина противолежащего ему угла, то для вычисления второго катета воспользуемся тангенсом этого угла:

tg А = ВО / АО;

АО = ВО / tg А;

tg 30º = 0,5774;

АО = 10 / 0,5774 ≈ 17,3 см.

Этот катет и является радиусом основания.

1. Найдем хорду АС.

l = 2r · sin (α / 2);

sin (60º / 2) = sin 30º = 1/ 2 = 0,5;

АС = 2 · 17,3 · 0,5 = 17,3 см.

1. Вычислим образующую конуса.

Рассмотрим осевое сечение. Треугольник, образованный высотой, радиусом основания и образующей является прямоугольным, поэтому для вычисления длины образующей применим теорему Пифагора:

L²= r²+ h²

L²= 17,3² + 10² = 299,29 + 100 = 399,29;

L = √399,29 ≈ 20 см.

1. Теперь найдем площадь сечения АВС. Так как оно имеет форму треугольника, то применим формулу Герона:

S = √p(p – a)(p – b)(p – c);

р = (a + b + c) / 2;

р = (20 + 20 + 17,3) / 2 = 57,3 / 2 = 28,65 см;

S = √28,65 · (28,65 – 20) · (28,65 – 20) · (28,65 – 17,3) = √28,65 · 8,65 · 8,65 · 11,35 = √24330,59 ≈ 156 см².

Ответ: площадь сечения конуса равна 156 см².