Шар радиуса R вписан в конус из центра шара образующая конуса видно под углом альфа. Найти объём конуса

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2DLennn).

В прямоугольном треугольнике АОН угол АОН смежный с углом АВО, тогда угол АОН = 180 – АОВ = (180 – α). Тогда угол ОАН = 180 – 90 – (180 – α) = (α – 90).

Тогда, в треугольнике АОН tg(180 - α) = АН / ОН = АН / R.

АН = R * tg(180 - α) = -R * tg α.

По свойству касательной, проведенной из одной точки, угол ОАН = ОАВ = (α – 90), тогда угол НАВ = ОАН + ОАВ = (α – 90) + (α – 90) = 2 * α – 180.

В прямоугольном треугольнике АВН tg(2 * α – 80) = BH / AH.

ВН = АН * tg(2 * α – 180) = -R * tg α * tg(2 * α).

Определим объем конуса.

V = Sосн * h / 3 = п * АН2 * ВН / 3 = п * (-R * tg α)² * (-R * tg α * tg(2 * α)) / 3 = - (п * R³ * (tg α)³ * tg (2 * α)) / 3.

Ответ: Объем конуса равен - (п * R³ * (tg α)³ * tg (2 * α)) / 3.