1)Отрезок ВD-диаметр окружности с центром О.хорда АС делит пополам радиус ОВ и перпендикулярна к нему.Найдите углы АВСD

1)

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2OHFyo2).

Построим дополнительный радиус ОА.

Треугольник АКО прямоугольный, так как АС перпендикулярно ВД. По условию, точка К середина радиуса ОВ, тогда катет ОК половина гипотенузы ОА, а тогда угол ОАК = 300,а угол КОА = 60⁰.

Угол АОД смежный с углом КОА, тогда АОД = (180 – 60) = 120⁰.

Треугольник АОД равнобедренный, тогда угол ОАД = ОДА = (180 – 120) / 2 = 30⁰.

Угол ВАК = 90 – ОАК – ОАД = 90 – 30 – 30 = 30₀. Угол АВК = 90 – 90 = 60⁰.

Аналогично, в треугольнике ВСД, угол ВДС = 30⁰, угол ДВС = 60⁰.

Тогда угол АВС = 120⁰, угол АДС = 60⁰, угол ВАД = ВСД = 90⁰.

Дуга АВ = 60⁰, ВС = 60⁰, СD = 120⁰, АD = 120⁰.

Ответ: Углы четырехугольника равны 60⁰, 60⁰, 120⁰, 120⁰.

Дуг равны: АВ = 60⁰, ВС = 60⁰, СD = 120⁰, АD = 120⁰.

2)

Для решения рассмотрим рисунок(http://bit.ly/2RelZW4).

Так как СН высота равнобедренного треугольника, то она и его медиана, тогда АН = ВН = АВ / 2 = 12 / 2 = 6 см.

По теореме Пифагора, ВС² = ВН² + СН² = 36 + 25 = 61.

ВС = √61 см.

Определим площадь треугольника АВС. Sавс = АВ * СН / 2 = 12 * 5 / 2 = 30 см2.

Определим полупериметр треугольника АВС: р = (АВ + ВС + АС) / 2 = (12 + √61 + √61) / 2 = 6 + √61 см.

Тогда r = S / р = 30 / (6 + √61) см.

R = АВ * ВС * АС / 4 * S = 12 * √61 * √61  / 4 * 30 = 6,1 см.

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 30 / (6 + √61) см, описанной 6,1 см