В равностороннем треугольнике высота равна h, радиусы вписанной и описанной окружностей равны r и R. Докажите, что h

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2YO3yJV).

Так как треугольник АВС равносторонний, то центр вписанной и описанной окружностей, точка О, лежит на пересечении медиан треугольника АВС.

Для решения рассмотрим рисунок (

Пусть сторона правильного треугольника равна а см.

Радиус описанной окружности равен: R = ОВ = а / √3 см.

Радиус вписанной окружности равен:r = ОН = а / 2 * √3 см.

Тогда R + r = а / √3 + а / 2 * √3 = 3 * a / 2 * √3 = a * √3 / 2.

Высота равностороннего треугольника равна: ВН = h = a * √3 / 2 см.

R + r = h, что и требовалось доказать.

Точка пересечения медиан, точка О делит ее на отрезки в отношении 2 / 1 начиная с вершины.

Тогда 2 * ОН = ОВ.

OH = OB / 2 = R / 2.

ОВ + ОН = h.

R + R / 2 = h.

3 * R = 2 * h.

R = 2 * h / 3, что и требовалось доказать.

ОВ + ОН = h.

2 * ОН + ОН = 2 * r + r = 3 * r = h.

r = h / 3, что и требовалось доказать.