К окружности радиуса R из внешней точки М проведены касательные МА и МВ, образующие угол α. Определите площадь фигуры,

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2Z6faru).

Искомая фигура ограничена дугой АРВ и касательными МА и МВ.

Построим радиусы ОА и ОВ, которые перпендикулярны касательным АМ и ВМ, тогда треугольники ОАМ и ОВМ прямоугольные, которые равны по катету и гипотенузе.

Тогда искомая площадь равна: S = 2 * Sаов – Sоарв.

В прямоугольном треугольнике ОАМ угол АМО = АМВ / 2 = α / 2.

Тогда tg(α/2) = OA / AM.

AM = OA / tg(α/2) = R / tg(α/2).

Sоам = АМ * ОА / 2 = R / tg(α/2) * R / 2 = R² / 2 * tg(α/2).

Тогда Sавм = 2 * Sоам = R² / tg(α/2).

Определим площадь сектора ОАРВ.

Sоарв = π * R² * AOB / 360 = π * R² * (180 – α) / 360 = π * R² * (π  – α) / (2 * π) = R² * (π  – α) / 2.

Тогда S = R² / tg(α/2) - R² * (π  – α) / 2 = R² * (tg(α/2) - (π  – α) / 2).

Ответ:  Площадь фигуры равна R² * (tg(α/2) - (π  – α) / 2).