Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2SaoWaQ).

Пусть длина отрезка EF = Х см.

Из точек С и F проведем прямые СК и FP параллельные боковой стороне АС, а так же прямые СМ и FН перпендикулярные ЕF и АД.

Треугольники СКF и FРД подобны по двум углам, тогда: KF / РД = CF / FД. (1)

Прямоугольные треугольники CMF и FНД так же подобны по острому углу, тогда: СМ / FH = СF / FД. (2).

В равенствах 1 и 2 правые части одинаковы, тогда: KF / РД = СМ / FH.

KF = Х – ВС = (Х – 5).  РД = АД – АР = АД – Х = (21 – Х).

Тогда: (Х – 5) / (21 – Х) = СМ / FH.

Площадь трапеции EВСF равна: S1 = (ВС + Х) * СМ / 2 = (5 + Х) * СМ / 2.

Площадь трапеции  АЕFД равна: S2 = (АД + Х) * FН / 2 = (21 + Х) * FH / 2.

S2 /S1 = 45 / 7 =  ((21 + Х) * FH / 2) / ((5 + Х) * СМ / 2).

45 / 7 = (21 + Х) / (5 + X) * FH / CM = (21 + Х) * (21 – Х) / (5 + X) * (X – 5).

45 / 7 = (21² – Х²) / (Х² – 5²).

-7 * Х² + 3087 = 45 * Х2 – 1125.

52 * Х² = 4212.

Х² = 4212 / 52 = 81.

Х = ЕF = 9 см.

Длина отрезка ЕF равна 9 см.