Внутри угла равного 45 градусов взята точка удаленная от сторон угла на расстояния 2 и корень из 2. Найдите квадрат расстояния

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2V0uEdC).

Проведем дополнительные построения.

Из точки С проведем перпендикуляр СК к АД, а из точки В прямую ВК, параллельную АС.

СН и ВК пересекаются в точке Р. Треугольник СВК прямоугольный и равнобедренный, так как угол СВК = САД = 45⁰, тогда и треугольник СВР прямоугольный и равнобедренный, а значит  ВР = ВС * Sin45⁰ = 2 * √2 / 2 = √2 см.

В прямоугольнике РВДН РВ = ВД = √2 см, тогда РВДН – квадрат, и РН = ДН = √2 см.

В прямоугольном треугольнике АСН угол САН = 45⁰, тогда треугольник и равнобедренный, тогда АН = СР + ВР = √2 + √2 = 2 * √2 см.

Длина отрезка АД = АН + ДН = 2 * √2 + √2 = 3 * √2 см.

В прямоугольном треугольнике АВД, по теореме Пифагора, АВ² = АД² + ВД² = (3 * √2)² + (√2)² = 18 + 2 = 20.

Ответ: Квадрат расстояния до вершины угла равен 20.