В окружность вписан правильный треугольгник, сторона которого равна 6см. Вычислить площадь квадрата, вписанного в ту

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2OJTvjZ).

Так как треугольник АВС правильный то его внутренние углы равны 60⁰.

Вписанный угол АСВ опирается на дугу АВ, тогда градусная мера дуги АВ = 120⁰.

Тогда центральный угол АОВ так же опирающийся на дугу АВ, а тогда угол АОВ = 120⁰.

В равнобедренном треугольнике АОВ АО = ОВ = R, тогда, по теореме косинусов:

АВ² = R² + R² – 2 * R * R *Cos120.

36 = 2 * R² – 2 * R² * (-1/2).

3 * R² = 36.

R² = 12.

R = 2 * √3 см.

Отрезок ОМ = R = 2 * √3 см и равен половине диагонали квадрата КМНР. Тогда МР = 4 * √3 см.

Определим площадь квадрата через ее диагональ.

Sкв = МР² / 2 = 48 / 2 = 24 см².

Ответ: Площадь квадрата равна 24 см².