в цилиндр с высотой 10 вписан конус ( основание конуса совпадает с нижним основанием цилиндра , вершина конуса - середина

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2UEzspy).

В прямоугольном треугольнике АСО1 определим длину катета СО1, который является радиусом конуса и цилиндра.

tg30 = CO1 / AC.

CO1 = AC * tg30 = 10 * 1 / √3 = 10 * √3 / 3 см.

Определим длину гипотенузы О1А.

Катет СО1 лежит против угла 30⁰, тогда длина гипотенузы равна двум длинам этого катета.

АО1 = 2 * СО1 = 2 * 10 * √3 / 3 = 20 * √3 / 3 см.

Определим площадь основания конуса.

Sосн = п * СО1² = п * (10 * √3 / 3)2 = п * 300 / 9 = п * 100 / 3 см².

Определим площадь боковой поверхности конуса.

Sбок = п * СО1 * АО1 = п * (10 * √3 / 3) * (20 * √3 / 3) = п * 600 / 9 = п * 200 / 3 см².

Тогда Sпол = Sосн + Sбок = п * 100 / 3 + п * 200 / 3 = п * 100 см².  

Ответ: Полная площадь поверхности конуса равна п * 100 см².