в прямоугольный треугольник вписана окуржность.точка касания делит гипотенузу в отношении 5:12.найти площадь треугольника,

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2O4WbXX).

ОМ = ОЕ и равно радиусу вписанной окружности. Рассмотрим прямоугольный треугольник СЕО, у которого гипотенуза ОС = √18, а катеты ОЕ и СЕ равны радиусу R окружности.

По теореме Пифагора ОС² = R² + R² = 2 * R².

(√18)² = 2 * R².

R² = 18/2 = 9.

R = 3 см.

Тогда ОМ = ОЕ = СМ = СЕ = 3 см.

По условию ВК / АК = 5/12.

Пусть одна часть соотношения будет Х см, тогда АК = 12 * Х, ВК = 5 * Х, а гипотенуза АВ = АК + ВК = 17 * Х.

По свойствам касательных, проведенных из одной точки ВМ = ВК = 5 * Х, АЕ = АК = 12 * Х.

Тогда катет ВС = 5 * Х + 3, а катет АС = 12 * Х + 3.

По теореме Пифагора АВ2 = АС2 + ВС2.

(17 * Х)² = (12 * Х + 3)² + (5 * Х + 3)².

289 * Х² = 144 * Х² + 72 * Х + 9 + 25 * Х² + 30 * Х + 9.

60 * Х² – 51 * Х – 9 = 0.

D = b² – 4 * a * c = (-17)² – 4* 20 * (-3) = 289 + 240 = 529.

X₁ = (17 - √529) / (2·20) = (17 – 23) / 40 = -6/40 = -0,15 ( Не подходит, так как Х не может быть < 0).

X₂ = (17 + √529) / (2·20) = (17 + 23) / 40 = 40/40 = 1.

Тогда АВ = 5 + 12 = 17 см.

АС = 12 + 3 = 15 см.

ВС = 5 + 3 = 8 см.

Определим площадь треугольника.

S = АС * ВС / 2 = 15 * 8 / 2 = 60 см².