В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2qpQdXR).

Так как в трапецию вписана окружность, то сумма его боковых сторон равна сумме длин его оснований.

АВ + СД = ВС + АД, а так как периметр трапеции равен 120 см, то АВ + СД = ВС + АД = 120 /  2 = 60 см.

Так как АВ = СД, то АВ = СД = 60 / 2 = 30 см.

Площадь трапеции, по условию, равна 540 см², тогда (ВС + АД)* ВН / 2 = 540.

60 * ВН = 1080.

ВН = 1080 / 60 = 18 см.

Из прямоугольного треугольника АВН, по теореме Пифагора, определим длину отрезка АН.

АН² = АВ² – ВН² = 30² – 18² = 900 – 324 = 576.

АН = 24 см.

В равнобедренной трапеции АН = ДЕ = 24 см.

Тогда АД = АН + НЕ + ЕД = 24 + НЕ + 24 = 48 + НЕ.

Так как ВС = НЕ, то АД + ВС = 60 = 48 + 2 * ВС.

ВС = 12 / 2 = 6 см, тогда АД = 24 + 6 + 24 = 54 см.

Треугольник ВОС подобен треугольнику АОД по двум углам, а его коэффициент подобия равен:

К = АД / ВС = 54 / 6 = 9.

Тогда МО / КО = 9.

МО = 9 * КО.

КО + МО = ВН = 18 см.

Тогда КО + 9 * КО = 18.

10 * КО = 18.

КО = 18 / 10 = 1,8 см.

Ответ: Расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания равно 1,8 см.