Гипотенуза прямоугольного треугольника равно 36 см. Может ли высота, проведённая к гипотенузе иметь длину 14 см? Ответ

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2MAp6qB).

Первый способ.

Медиана в прямоугольном треугольнике равна половине длины гипотенузы.

АМ = СМ = АС / 2 = 38 / 2 = 19 см.

ВМ > ВН.

Вокруг треугольника можно описать окружность с центром в точке М, значит прямоугольный треугольник  высотой 14 см и гипотенузой 36 см существует.

Второй способ.

У прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть корень квадратных из произведения отрезков, на которые высота делит гипотенузу.

АС = √(АН * СН).

Пусть отрезок СН гипотенузы равен Х см, тогда отрезок АН = (36 – Х).

АС = √(36 – Х) * Х.

АС = √(36 * Х – Х²).

14 = √(36 * Х – Х²).

Возведем обе стороны равенства в квадрат.

14² = 36 * Х – Х².

Х² – 36 * Х + 196 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = b² – 4 * a * c = (-36)² – 4 * 1 * 196 = 1296 - 784 = 512.

Х₁ = (36 - √512) / (2 * 1) = 18 – 8 * √2 ≈ 6,69.

Х₂ = (36 + √512) / (2 * 1) = 18 + 8 * √2 ≈ 29,31.

Если СН = 6,69 см, то АН = 29,31 см.

Если АН = 6,69 см, то СН = 29,31 см.

Ответ: Может.