Периметр треугольника ABC равен 18. На сторонах AC и BC взяты точки M и N так что прямая NM парал-на AB и кас впис окр. Найти ab если mn =2

Пусть S - площадь АВС, а искомая сторона АВ = х.

Радиус вписанной окружности, как известно равен:

r = S/p, где р - полупериметр, то есть в нашей задаче: r = S/9

Итак MN || AB. Значит тр-ки CMN и ABC - подобны и коэффициент подобия равен: MN/AB = 2/x

Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

S(CMN)/S = 4/x²

Отсюда площадь тр-ка CMN:

S(CMN) = (4S)/x²

Другая часть, на которую прямая MN разбила исходный тр-к АВС, - это трапеция AMNB с основаниями х и 2 и высотой равной диаметру вписанной окр-ти, то есть (2S)/9. ЕЕ площадь:

S(AMNB) = ½*(x+2)*(2S)/9 = (x+2)S/9

Теперь можем расписать площадь всего тр-ка АВС:

S = S(AMNB) + S(CMN)

Или:

S = (x+2)S/9  +  (4S)/x²

Сократив на S и домножив на общий знаменатель, получим уравнение для х:

х³ - 7х² + 36 = 0

Данное кубическое уравнение легко раскладывается на множители:

(х³ - 6х²) - (х² - 36) = 0

х²(х - 6) - (х - 6)(х + 6) = 0

(х - 6)(х² - х - 6) = 0

(х - 6)(х - 3)(х + 2) = 0

Корень  -2  отбрасываем

Ответ: АВ = 6  или  3 - оба корня подходят