Найдите максимальное целое число x , для которого существует целое y, такое что пара (x,y) является решением уравнения

Решим уравнение x^2 - xy - 2y^2 = 9 как квадратное относительно х:

x^2 - xy - 2y^2 - 9 = 0;

D = (- у)^2 - 4 * (- 2y^2 - 9) = у^2 + 8у^2 + 36 = 9(у^2 + 4).

Из двух возможных значений х наибольшим будет то, которое вычисляется по формуле со знаком плюс перед дискриминантом:

х = (- (- у) + √(9(у^2 + 4))) / (2 * 1) = (у + 3√(у^2 + 4)) / 2.

Так как х и у должны быть целыми числами, то значение выражения должно быть хотя бы рациональным числом, что возможно только при у = 0:

х = (0 + 3 * √(0^2 + 4)) / 2 = 6 / 2 = 3.

Ответ: 3.

Нам задано выражение x^2 - xy - 2y^2 = 9, известно, что х и у — целые числа. 

Найдем пару максимальное целых чисел (х; у) для которых выполняется данное равенство.

Решать задачу будем по алгоритму:

• разложим выражение в левой части уравнения на множители;
• подберем возможные значения для множителей из левой части уравнения;
• находим целые решения уравнения;
• выбираем максимальное целое решение уравнения.

Разложим на множители левую часть равенства

Чтобы разложить на множители выражение в левой части уравнения представим слагаемое - ху  в виде: ху - 2ху, получим:

x^2 + xy - 2xy - 2y^2 = 9;

x(x + y) - 2y(x + y) = 9;

(x + y)(x - 2y) = 9.

Так как корнями уравнения являются целые числа, то и выражения (х + у) и (х - 2у) — целые числа.

Подбираем возможные значения множителей левой части уравнения и находим целые решения

В правой части уравнения разложим на простые множители число 9.

9 = 1 * 9 = (- 1) * (- 9) = 3 * 3 = (- 3) * (- 3).

Значит возможны такие варианты значений выражений:

х + у = ∓ 1, а х - 2у = ∓ 9;

Последовательно найдем разность каждого из выражений:

 

(х + у) - (х - 2у) = х + у - х + 2у = 3у = ∓ 8;

3у = ∓ 8;

у = ∓ 8/3 — в результате мы получаем у не целым числом.

х + у = ∓ 9, а х - 2у = ∓ 1.

(х + у) - (х - 2у) = х + у - х + 2у = 3у = ∓ 8;

3у = ∓ 8;

у = ∓  8/3 — у не целое число.

Остается только один вариант:

х + у = ∓ 3; х - 2у = ∓ 3.

Находим разность выражений:

(х + у) - (х - 2у) = х + у - х + 2у = 3у = 0.

3у = 0;

у = 0.

Данное решение нам подходит (так как ноль является целым числом).

Найдем значение переменной х.

х + у = ∓ 3;

х = ∓ 3.

Выбираем максимальное целое решение уравнения

Целым решение уравнений является две пары чисел (- 3; 0) и (3; 0).

Пара максимально целых чисел (3; 0).

Ответ: (3; 0).