Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y=6\(x+2) на отрезке [-1\2;-1\3]

Требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции

y = 6 / (х + 2), на отрезке [- 1/2; - 1/3].

Найдем точки экстремума функции

Сначала нужно найти точки экстремума функции, т.е. такие точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Найдем производную функции

Для нахождения производной воспользуемся формулой:

(1 / (ax + b))’ = - a / (ax + b)².

Тогда:

y’ = (6 / (х + 2))’ = - 6 / (х + 2)².

Точки экстремума

• y’ = 0. т.е. -6 / (х + 2)² = 0; корней нет.
• y’ не существует, т.е. х + 2 = 0, х = -2.
• получим: х = - 2 – точка экстремума функции.

В точке х = - 2 функция не определена.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке достигается либо в точке экстремума, либо на концах отрезка.

Т.к. в точке х = - 2 функция не определена и эта точка не принадлежит промежутку [- 1/2; - 1/3], поэтому рассмотрим значение функции на концах.

• При х = -1/2, у = 6 / (-1/2 + 2) = 4.
• При х = -1/3, у = 6 / (-1/3 + 2) = 18/5 = 3,6.
• Таким образом, y_наим = у(-1/3) = 3,6, y_наиб = у(-1/2) = 4.

Ответ: y_наим = 3,6, y_наиб = 4.

Найдем наибольшее и наименьшее значение функции y = 6/(x + 2) на отрезке [- 1/2; - 1/3].1) y \' = (6/(x + 2)) \' = (6 * (x + 2) ^ (- 1)) \' = 6 * (- 1) * (x + 2) ^ (- 2) = - 6/(x + 2) ^ 2;2) - 6/(x + 2) ^ 2 = 0;x + 2 = 0;Известные значения переносим на одну сторону, а неизвестные на другую сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем:x = - 2 не принадлежит [- 1/2; - 1/3];3) y (- 1/2) = 6/(- 1/2 + 2) = 6/(2 - 1/2) = 6/(3/2) = 6 * 2/3 = 12/3 = 4;y (- 1/3) = 6/(- 1/3 + 2) = 6/(2 - 1/3) = 6/(5/3) = 6 * 3/5 = 18/5;Ответ: y min = 18/5 и y max = 4.