В равнобедренном треугольнике ABC, AB=AC, на сторонах AB и BC взяты точки P и Q, соответственно, так что P – середина

 

  Подобные треугольники ABH и PBM

 

   Для решения задачи воспользуемся первым признаком подобия треугольников: если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

   У подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны.

   Проведем высоту AH в треугольнике ABC (http://bit.ly/2iXOVPs). Рассмотрим треугольники ABH и PBM.  Они подобны по первому признаку подобия треугольников, т.к. углы PMB и AHB прямые, а угол B - общий. Следовательно, соответствующие стороны пропорциональны:

      AH : PM = BH : BM = AB : PB = 2, отсюда:

      AH = 2 * PM;

      BH = 2 * BM.

 

  Подобные треугольники AQH и PQM

   Пусть MQ = x. Рассмотрим треугольники AQH и PQM. Они подобны по первому признаку, поскольку углы PMQ и AHQ прямые, а ∠PQB = ∠AQC по условию задачи. Следовательно:

      HQ : MQ = AH : PM = 2, отсюда:

      HQ = 2 * MQ = 2x.

      А для BH и BM получим:

      BH = 2 * BM, следовательно:

      BM = MH = MQ + QH = 3x;

      BH = 6x.

 

  Вычисление отношения длин отрезков CQ и QM

   В равнобедренном треугольнике ABC высота AH, проведенная к основанию BC, является медианой. Поскольку медиана делит основание пополам, то:

      CH = BH = 6x.

   Вычислим длину отрезка CQ:

      CQ = CH + HQ = 6x + 2x = 8x.

   Таким образом, определив длину отрезков QM и CQ, можем вычислить их отношение:

• QM = x;
• CQ = 8x;
• CQ / QM = 8x : x = 8.

 

   Ответ: CQ / QM = 8.