В Стране 100 городов. Любые два города Страны соединены дорогой. От Страны отделилась независимая Республика, причем

Пусть в Республике х городов. Тогда они соединены х(х - 1)/2 дорогами (первый город можно выбрать х способами, второй х-1 способами, потому что нужно взять какой-то другой, и разделить на два, потому что дорога из А в Б и дорога из Б в А - это одна и та же дорога).При этом за пределами Республики осталось 100 - х городов. Соответственно, из Республики в другие города ведёт х(100 - х) дорог - по одной из каждого города Республики в каждый город за её пределами.По условию задачи эти величины равны:х(х - 1)/2 = х(100 - х);х^2 - х = 200х - 2х^2;3х^2 -201х = 0.Рассмотрим вариант х = 0. В принципе он возможен, и удовлетворяет условию. Если отделился кусок страны, в пределах которого не находится ни один город, то дорог, соединяющих такие города, будет 0. И столько же дорог соединяют эти отсутствующие города с городами остальной страны.Другой вариант:3х - 201 = 0;3х = 201;х = 67.Ответ: либо в Республике вообще нет городов, либо в ней находится 67 городов.

   Для решения этой задачи сосчитаем количество дорог, которые имеются между городами, принадлежащими независимой республике и приравняем их числу дорог, ведущих в остальные города страны.

Дороги между городами в независимой республике

• m - количество городов, которые отошли независимой республике;
• s - количество дорог, соединяющих города независимой республики;
• s1 - количество дорог, ведущих в другие города страны;

   Каждый из m городов в независимой республике соединен дорогой с (m - 1) другим городом в республике, при этом число дорог мы посчитаем дважды, тогда число дорог s равно:s = m (m - 1) / 2;

Дороги, ведущие в другие города страны

   После отделения независимой республики в стране осталось 100 - m  городов, тогда из независимой республики к ним ведет следующее количество дорог:s1 = m (100 - m);В соответствии с условиями задачи, приравняем количество дорог, соединяющих города независимой республики, количеству дорог, ведущих в другие города страны;s = s1;m (m - 1) / 2 = m (100 - m);m ≠ 0;Разделим обе части уравнения на m:m - 1 = 2(100 - m);3m = 201;m = 67 городов;Ответ: В независимой республике 67 городов.