Сравните 1/2√60 и 10√1/5

1/2 * √60 …?... 10 * √(1/5).Преобразуем число 1/2 * √60:1/2 * √60 = (1 * √60)/2 = √60/2 = √(4 * 15)/2 = (2√15)/2 = (сократим дробь) = √15.Преобразуем число 10 * √(1/5):10 * √(1/5) = 10 * √1/√5 = (10 * √1)/√5 = (10 * 1)/√5 = 10/√5 = (избавимся от иррациональности в знаменателе) = 10/√5 * √5/√5 = (10 * √5)/(√5)² = (10 * √5)/5 = (сократим дробь) = 2 * √5 = √4 * √5 = √(4 * 5) = √20.Сравним два иррациональных числа (чем больше модуль числа под корнем, тем больше иррациональное число):√15 < √20 (так как 15 < 20).Таким образом:1/2 * √60 < 10 * √(1/5).

Чтобы сравнить два корня, необходимо, чтобы никаких числовых значений не находилось за их пределами. Но если под знаком корней находятся дроби, то для сравнения, нам нужно получить одно из общих признаков: общий числитель, или общий знаменатель. Если нет ни того, ни другого, то придется привести к общему знаменателю.

Внесение числовых значений под знак корня

Воспользуемся алгоритмом сравнения двух корней с дробями:

• чтобы внести числовые значения, которые находятся под корнем, нужно будет их возвести в квадрат.
• делаем всевозможные изменения под знаком корня.
• сравниваем по выражению стоящему под знаком корня.

Значит, 1/2 * √60 = √(60 * 1/4) = √(60/4) = √15. 10√(1/5) = √(100 * 1/5) = √20. Теперь противопоставим друг другу: √15 и √20. 15 < 20 следовательно √15 < √20. Данный метод эффективен тем, что не допускает погрешностей.

Сравнение корней путем с помощью калькулятора

Если выражение кажется сложным, то многие пользуются калькуляторами. Этот метод может допускать погрешности в вычислении, но всё равно рассмотрим.

• дробь попробуем перевести в десятичное число.
• если дробь под корнем, то вычисляем значение десятичной дроби.
• если под знаком корня числовое значение, то вычисляем его и домножаем на число, стоящее впереди корня.

1/2√60 = 0,5 * √60 = 0,5 * 7,74 = 3,87.

10√1/5 = 10 * √1/5 = 10 * 0,44 = 4,4.

Теперь можем сравнить: 3,87 и 4,4. Как видим, 3,87 < 4,4. Но, в данном случае нам повезло, что отрыв получился большой, в других случая стоит ссылаться на первой метод, который мы уже описали.