Разложить на множители а^5+а+1

Прибавим к данному уравнению и отнимем выражение x^4 - x^4 + x^3 - x^3 + x^2 - x^2, как видим это выражение не изменит сути выражения так как оно равняется 0, если все сократить:x^5 + x + 1 = x^5 + x^4 + x^3 - x^4 - x^3 - x^2 + x^2 + x + 1, попробуем сгруппировать первое, второе и третье неизвестное, а также четвертое пятое и шестое и вынесем общий множитель:x^3(x^2 + x + 1) - x^2(x^2 + x + 1) + (x^2 + x + 1), выражение x^2 + x + 1 вынесем за скобки, имеем:x^3(x^2 + x + 1) - x^2(x^2 + x + 1) + (x^2 + x + 1) = (x^2 + x + 1) (x^3 - x^2 + 1).

Разложим на множители a ^ 5 + a + 1

Определим  понятие разложения на множители

Разложение на множители – это выражение в виде умножения что – то на что – то. Вариантов разложения очень много. Рассмотрим на примере, разложим число 15 на множители. Число 15 можно разложить на множители, и записывается оно в виде 15 = 5 * 3.

Рассмотри основные способы разложения на множители:

1. Разложить на множители, можно выносить за скобки общий множитель;
2. Разложить на множители, можно сгруппировав подобные значения;
3. Разложение на множители, используя формулы сокращенного умножения;
4. Разложение на множители квадратного трехчлена.

Разложим на множители A ⁵ + a + 1  

Для разложения выражения на множители, добавим к выражению значения, чтоб можно было выражение упростить. То есть получаем:

A ^ 5 + a + 1 + (a ^ 4 – a ^ 4) + (a ^ 2 – a ^ 2);

Раскрываем скобки. Если перед скобками стоит знак минус, то при ее раскрытии, знаки значений меняются на противоположный знак. Если же перед скобками стоит знак плюс, то при ее раскрытии знаки значений остаются без изменений. То есть получаем: 

A ^ 5 + a + 1 + a ^ 4 – a ^ 4 + a ^ 2 – a ^ 2;

(a ^ 2 + a + 1) * (a ^ 3 – a ^ 2 + 1);

В итоге получили, a ^ 5 + a + 1 = (a ^ 2 + a + 1) * (a ^ 3 – a ^ 2 + 1);

Сделаем проверку разложения на множители

(a ^ 2 + a + 1) * (a ^ 3 – a ^ 2 + 1);

Раскрываем скобки. Для этого каждые значения в первой скобке, умножаем на каждое значение во второй скобке, и складываем их в соответствии с их знаками. Тогда получаем:

a ^ 2 * a ^ 3 – a ^ 2 * a ^ 2 + 1 * a ^ 2 + a * a ^ 3 – a * a ^ 2 + a * 1 +  1 * a ^ 3 – 1 * a ^ 2 + 1 * 1;

a ^ (2 + 3) – a ^ (2 + 2) + a ^ 2 + a ^ (1 + 3) – a ^ (1 + 2) + a + a ^ 3 – a ^ 2 + 1;

a ^ 5 – a ^ 4 + a ^ 2 + a ^ 4 – a ^ 3 + a + a ^ 3 – a ^ 2 + 1;

Сгруппируем подобные значения и найдем значение выражения в скобках:  

A ^ 5 + (a ^ 4 – a ^ 4) + (a ^ 3 – a ^ 3) + (a ^ 2 – a ^ 2) + a + 1;

A ^ 5 + a ^ 4 * 0  + a ^ 3 * 0 + a ^ 2 * 0 + a + 1;

A ^ 5 + a + 1;

Верно.

Значит, разложение на множители выглядит следующим образом: a ^ 5 + a + 1 = (a ^ 2 + a + 1) * (a ^ 3 – a ^ 2 + 1).