Найдите значение выражения корень из a^2-4a+4+корень из a^2-10a+25 при a∈{3;4}

Формулы для решения задания

Решение квадратного уравнения через нахождение дискриминанта:

• D = b² - 4ac,
• где D - дискриминант,
• a коэффициент перед х²,
• b - коэффициент перед х,
• c - свободный член квадратного уравнения y = ax² + bx + c.

Разложение квадратного уравнения на множители:

Найти корни уравнения через дискриминант и подставить их в формулу а(х - х₁)(х - х₂), где а - коэффициент перед х², а х₁ и х₂ - корни уравнения.

Разложим на множители оба трехчлена

1. a² - 4a + 4

D = 4² - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0 (уравнение имеет один корень)

если D = 0, то корень уравнения находится по формуле х = - b/2a.

х_1,2 = 4/2 = 2

Получается, что выражение a² - 4a + 4 = (а - 2)²

2. a² - 10a + 25

 D = 10² - 4 * 1 * 25 = 100 - 100 = 0

х_1,2 = 10/2 = 5

Значит, a² - 10a + 25 = (а - 5)²

3. Под знаком корня находится скобка в квадрате,

то есть квадратный корень из (а - 2)² = |а - 2|, а квадратный корень из (а - 5)²  = |а - 5|.  

Под знаком модуля может находиться как положительное, так и отрицательное число.

Не забываем, что число а принадлежит промежутку [3; 4].

Проверим знак модуля, походит ли число а промежутку [3; 4].

а - 2 > 0, a > 2 (подходит)

а - 2 < 0, a < 2 (не подходит)

а - 5 > 0, a > 5 (не подходит)

a - 5 < 0, a < 5 (подходит).

То есть в модуле |а - 2| находится положительное число, а под модулем |а - 5| отрицательное. Раскрываем знаки модуля, меняя знак перед отрицательным знаком модуля.

|а - 2| + |а - 5| =  а - 2 - (а - 5) = а - 2 - а + 5 = 3.

Ответ: Значение выражения равно 3.

√(а^2 - 4а + 4) + √(а^2 - 10а + 25) - разложим подкоренные выражения на множители по формуле ах^2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2);1) а^2 - 4а + 4 = 0;D = b^2 - 4ac;D = (- 4)^2 - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0;x = (- b ± √D)/(2a);х1 = х2 = 4/2 = 2;а^2 - 4а + 4 = (а - 2)(а - 2) = (а - 2)^2.2) а^2 - 10а + 25 = 0;D = (- 10)^2 - 4 * 1 * 25 = 100 - 100 = 0;х1 = х2 = 10/2 = 5;а^2 - 10а + 25 = (а - 5)(а - 5) = (а - 5) ^ 2.1) √(а^2 - 4а + 4) + √(а^2 - 10а + 25) = √(а - 2)^2 + √(а - 5)^2 = (а - 2) + (а - 5) = а - 2 + а - 5 = 2а - 7;а = 3; 2а - 7 = 2 * 3 - 7 = 6 - 7 = - 1;а = 4; 2а - 7 = 2 * 4 - 7 = 8 - 7 = 1.2) √(а^2 - 4а + 4) + √(а^2 - 10а + 25) = - (а - 2) - (а - 5) = - а + 2 - а + 5 = - 2а + 7;а = 3; - 2а + 7 = - 2 * 3 + 7 = 1;а = 4; - 2а + 7 = - 2 * 4 + 7 = - 1;Ответ. - 1; 1.