Решите уравнение: x^4+5x^2-36=0

x ^ 4 + 5 * x ^ 2 - 36 = 0;Пусть x ^ 2 = a, тогда получим квадратное уравнение: a ^ 2 + 5 * a - 36 = 0;Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант: D = b ^ 2 - 4 * a * c = 5 ^ 2 - 4 * 1 * (- 36) = 25 + 4 * 36 = 25 + 144 = 169;a1 = (- 5 + 13)/2 = 8/2 = 4;a2 = (- 5 - 13)/2 = - 18/2 = - 9; Тогда: 1)x ^ 2 = a1;x ^ 2 = 4;x1 = 2;x2 = - 2;2) x ^ 2 = a2;x ^ 2 = - 9;Уравнение не имеет корней;Ответ: x = 2 и x = - 2.

Требуется решить биквадратное уравнение.

В этих целях необходимо сделать следующее:

• выполнить замену переменной и записать новое уравнение;
• решить полученное уравнение,
• найти решение исходного уравнения.

Замена переменной

Введем новую переменную:

х² = а, а ≥ 0.

Тогда исходное биквадратное уравнение можно привести к виду:

а² + 5а - 36 = 0.

Решение квадратного уравнения

Решим полученное квадратное уравнение при помощи дискриминанта:

D = 5² - 4 * 1 * (-36),

D = 25 + 144,

D = 169,

√D = √169 = 13.

Так как D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня.

а₁ = (-5 + 13) / (2 * 1),

а₁ = 8 / 2,

а₁ = 4;

а₂ = (-5 - 13) / (2 * 1),

а₂ = -18 / 2,

а₂ = -9.

Так как а ≥ 0, то а₂ = -9 далее не рассматриваем.

Найдем значение х

Вернемся к исходной переменной и найдем значения х:

х² = а,

х² = 4.

Решаем полученное уравнение и находим, что:

х₁ = -2, х₂ = 2.

 

Убедимся, что уравнение решено правильно. Для этого подставим числовые значения х₁ и х₂ в заданное уравнение и выполним вычисления.

При х₁ = -2 выражение примет вид:

(-2)⁴ + 5 * (-2)² - 36 = 0,

16 + 5 * 4 - 36 = 0,

16 + 20 - 36 = 0,

36 - 36 = 0,

0 = 0.

При х₂ = 2 выражение примет вид:

2⁴ + 5 * 2² - 36 = 0,

16 + 5 * 4 - 36 = 0,

16 + 20 - 36 = 0,

36 - 36 = 0,

0 = 0.

В обоих случаях получили верные равенства, значит, х₁ = -2 и х₂ = 2 являются корнями заданного биквадратного уравнения.

Ответ: х₁ = -2, х₂ = 2.