На плоскости отметили пять точек. Сколько можно провести отрезков, концами которых будут эти точки ?

Имеем на плоскости 5 случайно расположенных точек: А ,В, С, О, К.Соединим точку А с остальными точками отрезками, получим 4 отрезка: АВ, АС, АО, АК.Соединим точку В с остальными точками отрезками, получим 4 отрезка: ВА, ВС, АО, АК, но отрезок ВА у нас повторяется (это тот же отрезок АВ). Поэтому число возможных вариантов уменьшается до 3.При соединении точки С с другими точками число новых вариантов будет уже только 2.Присоединении точки О с другими точками число новых вариантов будет 1.Присоединении точки К с другими точками число новых вариантов будет 0.Количество возможных не повторяющихся отрезков будет равно: 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10.

Главное определение: между двумя точками на плоскости можно провести одну единственную прямую.

Начнём проводить прямые между точками 1, 2, 3, 4 и 5

Перед тем, как начнём проводить прямые мы пронумеровали точки номерами1, 2, 3, 4 и 5.

• Проводим прямые между точками: 1) 1 и 2, 2) 1 и 3, 3) 1 и 4, 4) 1 и 5;
• проводим прямые между точками: 1) 2 и 3, 2) 2 и 4, 3) 2 и 5;
• проводим прямые между точками: 1) 3 и 4, 2) 3 и 5.

Заметим, что когда проводим прямые с точками 2, 3, 4 и 5 количество прямых уменьшается из-за того, что с предыдущими по номерам точками эти прямые уже проведены.

Пример: прямые 2 - 1, 3 - 2 уже проведены, это те же прямые 1 - 2, и 2 - 3.

Проводим прямые от точек 4, 5 и считаем общее число прямых

• Проводим прямую между точками 1) 4 и 5;
• от точки 5 до остальных точек все прямые проведены ранее: это прямые 4 - 5, 3 - 5, 2 - 5, 1 - 5; 
• считаем общее число проведённых прямых: от точки 1 - 4 прямых, от точки 2 - 3 прямых, от точки 3 - 2 прямых, от точки 4 - 1 прямая.

Как уже упоминали, от точки 5 более прямых провести не удаётся, так как эти прямые уже проведены ранее.То есть от точки 5 проводим 0 прямых.

Считаем общее число проведённых прямых: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 прямых.