Площадь остроугольного треугольника ABC равна S. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, AC и BC

• Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис;
• радиус окружности перпендикулярен касательной к этой окружности;
• площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию;
• две касательные, проведенные из одной точки к одной окружности, равны;
• около четырехугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов будет равна 180 градусов;
• вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности, равны;
• если два угла треугольника равны двум углам второго треугольника, то эти треугольники подобны.

Перед решением задачи необходимо сделать чертеж, указать известные данные.

1) Треугольники АВС и ОВС имеют общую сторону ВС. Высота, проведенная из вершины А к стороне ВС в 3 раза больше высоты ОК (ОК является радиусом вписанной окружности). Значит площадь треугольника ВОС в три раза меньше площади треугольника АВС:

S_ОВС = 1/3 * S_АВС = 1/3 * S.

2) ВЕ - это биссектриса, медиана и высота треугольника МВК (треугольник МВК равнобедренный, так как ВМ - ВК как две касательные из одной точки). Значит, угол ОЕК равен 90°.

СF - биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника CNK. Значит, угол OFK равен 90°.

Значит, около четырехугольника КЕОF можно описать окружность (угол ОЕК + OFK = 180°).

3) Обозначим угол OBK = OBA= х , тогда угол OKE = 90° - KOE = х. Угол OFE = OKE = х , как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности, описанной около четырехугольника KEOF.

Следовательно, треугольник FEO подобен треугольнику ВСО.

Вычислим коэффициент подобия треугольников:

OQ и OK - это соответствующие высоты треугольников FEO и ВСО. OQ/OK = 1/4. Значит, коэффициент подобия равен 1/4.

Площади подобных треугольников относятся друг к другу с коэффициентом в квадрате.

S_EOF = (1/4)^2 * S_BOC = 1/16 * 1/3 * S = 1/48 * S = S/48.

Ответ: площадь треугольника EOF = S/48.