Сумма трёх последовательных простых чисел равна 173. Чему равна разность большего и меньшего из них?

Найдем три данных последовательных простых числа методом перебора.Поскольку 173/3 = 57 2/3, будем искать среди простых чисел, близких к числу 57.Выпишем несколько последовательных простых чисел, начиная с числа 47:47, 53, 59, 61, 67.Найдем сумму трех последовательных простых чисел 47, 53 и 59:47 + 53 + 59 = 159.Этот набор чисел не подходит.Найдем сумму трех последовательных простых чисел 53, 59 и 61:53 + 59 + 61 = 173.Это и есть искомый набор чисел.Разность большего и меньшего из данных трех чисел равна:61 - 53 = 8.Ответ: искомая разность равна 8.

  Обозначения

   Три последовательных простых числа обозначим:

      n1, n2 и n3, где

      n1 < n2 < n3.

   Тогда, по условию задачи имеем:      n1 + n2 + n3 = 173.

  Среднее значение трех простых чисел

   Вычислим среднее значение n для этих последовательных простых чисел:

      n = (n1 + n2 + n3) / 3;

      n = 173 / 3 = 57 2/3 ≈ 57,7.

   Очевидно, что меньшее из чисел меньше их среднего значения, а большее из них больше среднего значения:

      n1 < n;

      n3 > n.

   Ясно также, что среднее из этих чисел может принимать любое значение, т. е. число n2 может быть как больше, так и меньше чем среднее значение n, в зависимости от отклонения крайних чисел n1 и n3 от этого значения:

      n - n1 и n3 - n.

  Определение искомых простых чисел

   Таким образом, из трех простых последовательных чисел, два числа граничат среднему значению n. Наибольшее простое число, которое меньше чем n, это число 53, наименьшее же простое число, больше чем n - число 59.

   Зная значения двух из трех последовательных чисел, легко вычислить и третьее простое число:

      173 - (53 + 59) = 173 - 112 = 61.

   Следовательно, тремя последовательными простыми числами являются:

• n1 = 53;
• n2 = 59;
• n3 = 61.

   Для разности же большего и меньшего из этих простых чисел получим:

      d = n3 - n1 = 61 - 53 = 8.

   Ответ: 8.