Log3 (x+1)+log3 (x+3)=1

Решение:1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). По определению логарифма x + 1 > 0; x + 3 > 0. Решаем:x + 1 > 0, x > -1; x + 3 > 0, x > -3.Находим их пересечение: x > -1. Это и будет нашей ОДЗ.2. По свойствам логарифма сумма логарифмов равна логарифму произведения:Log 3 (x + 1)(x + 3) = 13. Представим 1 в виде логарифма с основанием 3, воспользовавшись определением логарифма: 1= log 3 3.4. Подставим получившееся выражение в уравнение и решим его:Log 3 ( x + 1 )( x + 3 ) = log 3 3;( x + 1 )( x + 3 ) = 3;x2 + 4x + 3 - 3 = 0;x2 + 4x = 0;x ( x + 4 ) = 0;x = 0 или x + 4 = 0, x = -4.С учетом ОДЗ оставляем только первый корень.Ответ: x = 0

Нам нужно решить логарифмическое уравнение log₃(x + 1) + log₃(x + 3) = 1 в этом нам помогут свойства логарифмов.

Составим план решения логарифмического уравнения

• найдем ОДЗ для уравнения;
• вспомним свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием и применим его к левой части уравнения;
• представим единицу в виде логарифма с основанием 3;
• приравняем выражения, стоящие под знаками логарифмов и решим полученное уравнение;
• проверим принадлежат ли корни ОДЗ.

ОДЗ уравнения и свойства суммы логарифмов

Найдем ОДЗ уравнения. Известно, что выражение, стоящее под знаком логарифма не может быть отрицательным: х + 1 > 0 и х + 3 > 0, то есть х > - 1.

Итак, давайте вспомним как звучит свойство сумму логарифмов.

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения выражений, стоящих под знаками логарифмов слагаемых:

log_ax + log_ay = log_a(xy);

Применим его в левой части уравнения и получим:

log₃ ((x + 1)(x + 3)) = 1;

а 1 представим в виде log₃ 3.

log₃ (x^2 + x + 3x + 3) = log₃ 3.

Переходим к решению неполного квадратного уравнения

Теперь приравняем выражения, стоящие под знаком логарифма:

x^2 + x + 3x + 3 = 3;

x^2 + 4x + 3 – 3 = 0;

x^2 + 4x = 0.

Решаем полученное неполное квадратное уравнение. Представим в виде произведение выражение в левой части уравнения.

x(x + 4) = 0.

Чтобы найти все решения уравнения перейдем к решению двух линейных, приравняв каждый из множителей к нулю.

1) х = 0;

2) х + 4 = 0;

х = - 4.

Проверим входят ли найденные решения в область допустимых значений. х = 0 — является решением, а х = - 4 не входит в ОДЗ.

Ответ: х = - 4 корень уравнения.