Какую наименьшую сумму могут иметь семь последовательных натуральных чисел, если эта сумма оканчивается на 1234567?

   Если первое число обозначим n, то последовательными натуральными числами будут числа:

• n1 = n;
• n2 = n + 1;
• n3 = n + 2;
• n4 = n + 3;
• n5 = n + 4;
• n6 = n + 5;
• n7 = n + 6.

   А для суммы N этих чисел получим выражение:

      N = n1 + n2 + n3 + n4 + n5 + n6 + n7;

      N = n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + (n + 4) + (n + 5) + (n + 6);

      N = 7n + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;

      N = 7n + 21;

      N = 7(n + 3). (1)

   Из уравнения (1) следует, что сумма чисел N делится на 7. Следовательно, среди чисел, оканчивающихся на 1234567, должны искать наименьшее число, кратное 7.

   При делении числа 1234567 на 7 получим остаток 5:

      1234567 = 7 * 176366 + 5, не делится на 7.

   Следующим за этим, по порядку возрастания, числом, оканчивающимся на 1234567, является число:

      11234567 = 7 * 1604938 + 1, не делится на 7.

   Следующее число, оканчивающееся на 1234567:

      21234567 = 7 * 3033509 + 4, не делится на 7.

   Следующее число, оканчивающееся на 1234567:

      31234567 = 7 * 4462081, делится на 7.

   Стало быть, наименьшей суммой для семерых последовательных натуральных чисел будет число 31234567.

   Найдем также наименьшее из этих последовательных чисел, т. е. первое число n:

• N = 7(n + 3);
• n + 3 = N / 7;
• n = N / 7 - 3;
• n = 31234567 / 7 - 3 = 4462078.

   Таким образом, последовательностью из семи натуральных чисел, сумма которых оканчивается на 1234567 и имеет наименьшее значение 31234567, является:

      4462078; 4462079; 4462080; 4462081; 4462082; 4462083; 4462084.

   Ответ: 31234567.