√3x+1+√x+3=√18-2x решить уравнение

Решим уравнение √(3 * x + 1) + √(x + 3) = √(18 – 2 * x) 

Для того, чтобы решить уравнение, используем следующий порядок действий:

1. Сначала правую и левую часть выражения возводим в квадрат;
2. Приведем уравнение к линейному виду или перенесем все известные значения на одну сторону;
3. Найдем корни уравнения.

√(3 * x + 1) + √(x + 3) = √(18 – 2 * x);

Правую и левую часть выражения возведем в квадрат, то есть получаем:

(√(3 * x + 1) + √(x + 3)) ^ 2 = √(18 – 2 * x) ^ 2;

3 * x + 1 + 2 * √(3 * x + 1) * √(x + 3) + x + 3 = 18 – 2 * x;

4 * x + 4 + 2 * √(3 * x + 1) * (x + 3) = 18 – 2 * x;

2 * √(3 * x + 1) * (x + 3) = 18 – 2 * x – 4 * x – 4;

2 * √(3 * x + 1) * (x + 3) = 14  - 6 * x;

√(3 * x + 1) * (x + 3) = 7 – 3 * x;

(3 * x + 1) * (x + 3) = (7 – 3 * x) ^ 2;

Раскрываем скобки. Для этого каждые значения в первой скобке, умножаем на каждое значение во второй скобке, и складываем их в соответствии с их знаками. Тогда получаем:

3 * x * x + 3 * x * 3 + 1 * x + 1 * 3 = 49 – 2 * 7 * 3 * x + 9 * x ^ 2;

3 * x ^ 2 + 9 * x + x + 3 = 49 – 42 * x + 9 * x ^ 2;

Перенесем все значения выражения на одну сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем:

9 * x ^ 2 – 42 * x + 49 – 3 * x ^ 2 – 9 * x – x – 3 = 0;

9 * x ^ 2 – 3 * x ^ 2 – 42 * x – 10 * x + 49 – 3 = 0;

6 * x ^ 2 – 52 * x + 46 = 0;

Найдем корни квадратного уравнения 6 * x ^ 2 – 52 * x + 46 = 0 через дискриминант

6 * x ^ 2 – 52 * x + 46 = 0;

2 * (3 * x ^ 2 – 26 * x + 23) = 0;

(3 * x ^ 2 – 26 * x + 23) = 0;

Сначала раскрываем скобки. Если перед скобками стоит знак минус, то при ее раскрытии, знаки значений меняются на противоположный знак. Если же перед скобками стоит знак плюс, то при ее раскрытии знаки значений остаются без изменений. То есть получаем:

3 * x ^ 2 – 26 * x + 23 = 0;

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b ² – 4 * a * c = (- 26) ² – 4 · 3 · 23 = 676 - 276 = 400; 

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

x₁ = (26 - √400)/(2 · 3)  = (26 – 20)/6 = 6/6 = 1;

x₂ = (26 + √400)/(2 · 3) = (26 + 20)/6 = 46/6 = 23/3;

Отсюда получили, что уравнение √(3 * x + 1) + √(x + 3) = √(18 – 2 * x) имеет 2 корня х = 1 и х = 23/3.

√( 3 * x + 1 ) + √( x + 3 ) = √( 18 - 2 * x ) .Здесь x = 1 , очевидно, является корнем уравнения.Рассмотрим стандартное решение, которое используется, когда ответ не так очевиден.Возведём \"в квадрат\" (во вторую степень) правую и левую части уравнения:( √( 3 * x + 1 ) )^2 + 2 * √( 3 * x + 1 ) * √( x + 3 ) + ( √( x + 3 ) )^2 = ( √( 18 - 2 * x ) )^2 ;( 3 * x + 1 ) + 2 * √( ( 3 * x + 1 ) * ( x + 3 ) ) + ( x + 3 ) = ( 18 - 2 * x ) .Перегруппируем слагаемые. Корень оставим в левой части уравнения, остальные слагаемые а правой части уравнения:2 * √( ( 3 * x + 1 ) * ( x + 3 ) ) = ( 18 - 2 * x ) - ( 3 * x + 1 ) - ( x + 3 ) ;2 * √( ( 3 * x + 1 ) * ( x + 3 ) ) = 14 - 6 * x ;√( ( 3 * x + 1 ) * ( x + 3 ) ) = 7 - 3 * x .Возведём ещё раз \"в квадрат\" обе части уравнения:( 3 * x + 1 ) * ( x + 3 ) = 49 - 2 * 7 * 3 * x + 9 * x ;3 * x^2 + 43 * x - 46 = 0 .Получили квадратное уравнение. Решаем его:D = 43^2 - 4 * 3 * ( - 46 ) = 1849 + 552 = 2401 = 49^2 ;x = ( - 43 ± √D )/( 2 * 3 ) ;x = ( - 43 ± 49 )/6 ;x = 1 или x = - 15,(3) ;Если мы работаем с вещественными числами и не пользуемся комплексными, то x = - 15,(3) неудовлетворяет исходному уравнению. Этот \"лишний\" ответ появился, так как алгоритм решения таких задач предполагает неоднократное возведение в квадрат исходного уравнения.Ответ: x = 1 .