Найдите значение производной функции в точке: у = -3sin⁡х + 2cos⁡х, х0 = П/2.

Найдем значение производной функции у = - 3 * sin ⁡х + 2 * cos⁡ x в точке х0 = П/2.Для того, чтобы найти производную функции у = - 3 * sin ⁡х + 2 * cos⁡ x, используем формулы производной:1) sin \' x = cos x;2) cos \' x = sin x;3) (x + y) \' = x \' + y \';Тогда получаем:у \' = (- 3 * sin ⁡х + 2 * cos⁡ x) \' = - 3 * sin \' x + 2 * cos \' x = - 3 * cos x + 2 * (- sin x) = - 3 * cos x - 2 * sin x;у \' (pi/2) = - 3 * cos (pi/2) - 2 * sin (pi/2) = - 3 * 0 - 2 * 1 = 0 - 2 = - 2;Ответ: у \' (pi/2) = - 2.

По условию задачи нам необходимо вычислить производную функции у = -3sin х + 2cos х и найти ее значение в точке х₀ = π/2.

Формулы и правила для вычисления производной

• (sin x)’ = cos x (производная основной элементарной функции);
• (cos x)’ = - sin x (производная основной элементарной функции);
• (с*u)’ = с*u’, где с – const (основное правило дифференцирования);
• (u + v)’ = u’ + v’ (основное правило дифференцирования).

Вычисление производной

Найдём производную функции: у = -3sin х + 2cos х.

Используя, формулы и правила для вычисления производной, дифференцируем функцию почленно:

1. Вычислим производную от «-3sin х»:

• «-3» – это const, то есть по правилу дифференцирования «-3» остается;
• производная от «sin х» – это будет «cos x»;
• следовательно, у нас получается, что (-3sin х)’ = -3cos x.

1. Вычислим производную от «2cos х»:

• «2» – это const, то есть по правилу дифференцирования «2» остается;
• производная от «cos х» – это будет «- sin x»;
• следовательно, у нас получается, что (2cos х)’ = 2 * (- sin x) = -2sin x.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

(у)’ = (-3sin х + 2cos х)’ = (-3sin х)’ + (2cos х)’ = -3cos x + (-2sin x) = -3cos x - 2sin x.

Вычислим значение производной в точке х₀ = π/2

Подставим в производную вместо х значение π/2, у нас получится выражение:

(у(π/2))’ = -3cos x - 2sin x = -3cos π/2 - 2sin π/2.

Используя тригонометрическую таблицу, вычислим «cos π/2» и «sin π/2»:

• cos π/2 по тригонометрической таблице равняется 0;
• sin π/2 по тригонометрической таблице равняется 1;
• то есть «cos π/2 = 0» и «sin π/2 = 1».

Теперь подставим найденные значения «cos π/2» и «sin π/2» в нашу производную и получим:

(у(π/2))’ = -3cos π/2 - 2sin π/2 = -3 * 0 – 2 * 1 = 0 – 2 = -2.

Ответ: Производная функции у = -3sin х + 2cos х будет (у)’ = -3cos x - 2sin x, а ее значение в точке х₀ = π/2 равняется «-2».