Найдите наименьшее натуральное число , которое при делении на 6 дает остаток 5, а при делении на 7 дает остаток 2.

Всякое натуральное число х, которое при делении на 6 дает остаток 5 можно представить в виде:х = 6 * k + 5,где k - некоторое целое число.Перебирая значения k, начиная от наименьшего k = 1, будем искать наименьшее натуральное число вида 6 * k + 5, которое при делении на 7 дает остаток 2.При k = 1 получаем х = 6 * 1 + 5 = 11. Число 11 при делении на 7 дает остаток 4.При k = 2 получаем х = 6 * 2 + 5 = 17. Число 11 при делении на 7 дает остаток 3.При k = 3 получаем х = 6 * 3 + 5 = 23. Число 23 при делении на 7 дает остаток 2.Следовательно, число 23 является искомым.Ответ: искомое число 23.

  Представление числа при делении на 6 и на 7

   1. Если при делении натурального числа m на 6 в остатке получаем 5, то это число можно представить в виде:

      m = 6 * k + 5,

где k - целое неотрицательное число: k = 0; 1; 2; ...

   2. Аналогично, если при делении натурального числа n на 7 в остатке получаем 2, то число можно представить в виде:

      n = 7 * l + 2,

где l - целое неотрицательное число: l = 0; 1; 2; ...

  Составление и решение уравнения

   Если в качестве делимого в обоих случаях выступает одно и то же натурального число, т. е. m = n, то для нахождения искомого числа можем составить уравнение:

• m = n;
• 6 * k + 5 = 7 * l + 2;
• 6 * k + 5 - 2 = 7 * l;
• 7 * l = 6 * k + 3;
• 7 * l = 3 * (2 * k + 1). (1)

   Из уравнения (1) следует, что произведение 7 * l делится на 3. Поскольку 7 - простое число, то можем утверждать, что l делится на 3.

   С другой стороны, в правой части уравнения имеем нечетное число, т. к. произведение нечетных чисел 3 и (2 * k + 1) дает нечетное число. Следовательно, l - нечетное число, т. е. не делится на 2. А если число не делится на 2, но делится на 3, то его можно представить в виде:

      l = 6 * p + 3, (2)

где p - целое неотрицательное число, т. е. p = 0; 1; 2; ... 

  Наименьшее значение для искомого числа

   Для того, чтобы найти наименьшее значение для l, подставим вместо p наименьшее возможное значение:

      p = 0;

      l = 6 * p + 3 = 6 * 0 + 3 = 3, отсюда

      m = n = 7 * l + 2 = 7 * 3 + 2 = 23.

   Проверим полученный результат:

      23 = 7 * 3 + 2;

      23 = 6 * 3 + 5.

   Ответ: 23.